ضرب خارجی یا ضرب برداری چیست ؟

ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.

...

توضیحات کامل در ادامه مطلب...

تعریف

دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود:



فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند:




در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود:

خصوصیات

خصوصیات هندسی

حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار ساخته شده است از ضرب سه گانه این سه بردار حاصل میشود.

اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است. یعنی داریم:


همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد:

ویژگیهای جبری

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد:

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد:

• ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود :

• این ضرب شرکت پذیر نیست. ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند:

قانون دست راست برای ضرب برداری

مثال:

-اگر =|| و =|| و θ=۹۰ حاصل را بدست آورید.

حل:

خوب تمام خواسته های فرمول داده شده فقط جاگذاری می کنیم و جواب بدست می آید.

=||||=||

-اگر و اندازه بردار را بدست آورید.

حل:

خوب در این سوال باید از فرمول ضرب خارجی استفاده کنیم که ما برای حل همه سوال های مربوط به ضرب خارجی از روش دترمینان استفاده می کنیم.خوب در این روش یک چیز هایی ثابت است ابتدا باید دترمینان را تشکیل دهید,چون سوال گفته پس باید به ترتیب ابتدا مولفه های α و سپس b را زیر i,j,k قرار دهید.پس از تشکیل دترمینان شما سه بخش ثابت داری که i,-j,+k می باشند.برای مثال اگر به اعداد بعد از i توجه کنید می بینید اعدادی که در جلوی آن قرار دارند اصلا اعدادی نیستند که در دترمینان زیر ستون i را تشکیل داده اند.بنابراین توجه کنید که بعد از هر کدام از این قسمت های ثابت باید اعدادی قرار بگیرند که در دتر مینان زیر ستون ثابت فعلی نیستند (دو زیر ستون بغیر از زیر ستون ثابت فعلی)یعنی:

خوب همانطور که می بینید آن قسمتهایی که مشخص شده در همه سوال های مربوط به ضرب خارجی یکی است یعنی ثابت است پس آنها را بخاطر بسپارید.
جواب سوال است.اگر سوال از شما طول بردار را هم میخواست کافی بود که فقط جواب دترمینان را در فرمول طول بردار قرار دهید که جواب بدست می آید یعنی خط سوم در راه حل بالا.

منابع: ویکی پدیا

         رشد

behnam-sherafatmand.xzn.ir